Τεστ στις ταλαντώσεις (Επίπεδο δυσκολίας: Μέτριο)

Ένα κρυστάλλινο ποτήρι μπορεί να σπάσει λόγω ενός ηχητικού κύματος όταν:

Το πλάτος της εξαναγκασμένης μηχανικής ταλάντωσης:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και γύρω απ’ την ίδια θέση ισορροπίας. Η χρονοεξίσωση της πρώτης επιμέρους ταλάντωσης είναι \[x_1=A\, ημ202πt\] (S.I.). Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; Για να είναι η σύνθετη κίνηση ταλάντωση που παρουσιάζει διακροτήματα, η χρονοεξίσωση της απομάκρυνσης της δεύτερης ταλάντωσης μπορεί να είναι η:

Η σταθερά επαναφοράς \[D\] ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή:

Ταλαντωτές κινούνται σε διαφορετικά μέσα και η δύναμη αντίστασης που δέχονται σε συνάρτηση με την αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς τους είναι της μορφής \[ΣF=-bυ\], όπου \[b\] θετικές σταθερές. Στη δεξιά στήλη έχουν σχεδιαστεί τα χρονοδιαγράμματα των απομακρύνσεων των ταλαντωτών \[x\] απ’ τη Θ.Ι. τους. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της πάνω στήλης που συμβολίζονται με αριθμούς και εκφράζουν τον βαθμό της απόσβεσης, με τα διαγράμματα της κάτω στήλης.

Το ιδανικό ελατήριο σταθεράς \[k\] του παρακάτω σχήματος έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο σε δάπεδο ενώ στο πάνω άκρο του έχουμε στερεώσει μάζα \[m\]. Το ελατήριο είναι συσπειρωμένο με τη βοήθεια κατακόρυφου αβαρούς νήματος και το σώμα στη θέση αυτή ισορροπεί ενώ το μέτρο της τάσης του νήματος είναι \[3mg\] όπου \[g\] η επιτάχυνση της βαρύτητας. Μια χρονική στιγμή κόβω το νήμα ακαριαία και το σώμα εκτελεί α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς \[D=k\]. Η μέγιστη επιτάχυνση της α.α.τ. του σώματος είναι:

Στις ακραίες θέσεις μιας α.α.τ.:

Τρία σώματα με ίσες μάζες \[m_1 = m_2 = m_3 = 1\, kg\] έχουν προσδεθεί στα κάτω άκρα κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων που τα πάνω άκρα τους στερεώνονται σε οριζόντια μεταλλική ράβδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα ελατήρια έχουν σταθερές \[k_1 = 25 \frac Nm,\, k_2=100 \frac Nm\] και \[k_3=200 \frac Nm\] αντίστοιχα. Με τη βοήθεια κατακόρυφης περιοδικής δύναμης που ασκώ στη ράβδο, εξαναγκάζω τα τρία συστήματα σε ταλάντωση. Η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι σταθερή και ίση με \[f_δ=\frac{5}{π} Hz\], ενώ η ράβδος παραμένει συνεχώς οριζόντια. Η σταθερά απόσβεσης είναι μικρή και για τα τρία συστήματα.

Ταλαντωτής εκτελεί α.α.τ. με περίοδο \[Τ\]. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση που η δύναμη της αντίστασης στην κίνηση συνδέεται με την ταχύτητα του ταλαντωτή σύμφωνα με τη σχέση \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] η σταθερά απόσβεσης. Τότε για τη γωνιακή ταχύτητα της ταλάντωσης ισχύει η σχέση \[ω=\sqrt{ \frac{D } {m}-\left( \frac{b}{2m} \right)^2 }\]. Αν αυξήσω τη σταθερά \[b\], θα αυξηθεί και η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης. Για να θεωρηθεί η αύξηση αυτή της περιόδου αμελητέα, πρέπει:

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελέσει ένα υλικό σημείο α.α.τ. είναι αυτή που απαιτεί η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σημείο να είναι:

Επιλέξτε ποιες απ’ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. Η δύναμη επαναφοράς σε μια α.α.τ.:

Επιλέξτε ποιες απ’ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. Σε μια α.α.τ. η δύναμη επαναφοράς:

Η περίοδος ενός περιοδικού φαινομένου είναι \[2\; s\]. Αυτό σημαίνει:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο επιμέρους απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, γύρω απ’ την ίδια θέση ισορροπίας και με παραπλήσιες συχνότητες. Οι εξισώσεις των απομακρύνσεών τους είναι \[x_1=A ημω_1 t\], \[x_2=A ημω_2 t\]. Η σύνθετη ταλάντωση του σώματος παρουσιάζει διακροτήματα περιόδου \[T_δ\] και έχει περίοδο \[T_{ταλ}\]. Ο χρόνος που απαιτείται απ’ τη στιγμή \[t=0\] ως τη στιγμή που οι δύο επιμέρους α.α.τ. αποκτήσουν διαφορά φάσης \[Δφ=π\] είναι:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Η απομάκρυνσή του απ’ τη θέση ισορροπίας του είναι:

Το κτίριο στη διάρκεια ενός σεισμού κινδυνεύει να καταστραφεί όταν:

Ταλαντωτής έχει ιδιοσυχνότητα \[f_0\] και εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση σταθερού πλάτους \[A\] με την επίδραση διεγείρουσας δύναμης \[F_δ\] που έχει τη μορφή \[F_δ=F_0\, συν2πf_δ t\]. Η χρονοεξίσωση της επιτάχυνσης του ταλαντωτή γράφεται:

Σε μια α.α.τ. την \[t=0\] ο ταλαντωτής έχει αρνητική επιτάχυνση και επιταχύνεται ενώ την ίδια στιγμή η δυναμική του ενέργεια είναι ίση με την κινητική. Η αρχική φάση της α.α.τ. είναι:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη τροχού και με μικρή σταθερά απόσβεσης. Μειώνω αργά τη συχνότητα του διεγέρτη από μια τιμή \[f_1\] ως την τιμή \[f_2=60\, Hz\]. Στη διάρκεια της μείωσης αυτής παρατηρώ ότι το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς αυξάνεται ακόμα και αν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει λίγο μικρότερη της \[f_2\]. Απ’ αυτό συμπεραίνουμε ότι η ιδιοσυχνότητα του συστήματος \[f_0\] είναι:

Σώμα εκτελεί α.α.τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα της μεταβολής της απομάκρυνσης του ταλαντωτή απ’ τη Θ.Ι. του σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο επιμέρους α.α.τ. γύρω απ’ το ίδιο σημείο που έχουν ίδιες διευθύνσεις και οι χρονοεξισώσεις των απομακρύνσεών τους είναι αντίστοιχα \[x_1=A_1\, ημωt\] και \[x_2=A_2\, ημ(ωt+φ)\]. Το πλάτος \[Α\] της σύνθετης κίνησης είναι:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ το ίδιο σημείο με ίδια διεύθυνση και ίσες συχνότητες. Η σύνθετη κίνηση του σώματος είναι:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί α.α.τ. Αν διπλασιάσω τη μάζα του σώματος χωρίς να μεταβάλω το πλάτος, τότε:

Σύστημα ελατήριο-σώμα του παρακάτω σχήματος τίθεται σε κίνηση.

Το σώμα μάζας \[m_1=m\] του παρακάτω σχήματος είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου που το άλλο άκρο του είναι προσδεμένο σε οροφή. Θέτω το σώμα σε α.α.τ. την \[t=0\] δίνοντάς σ’ αυτό ταχύτητα \[υ_0\] που έχει κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα πάνω στη θέση που ήταν αρχικά ακίνητο. Η πάνω ακραία θέση της α.α.τ. του είναι η θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Τη χρονική στιγμή \[t=\frac{21T}{4}\] όπου \[Τ\] η περίοδος της α.α.τ. του σώματος ακαριαία πάνω στο σώμα αφήνω ένα δεύτερο σώμα ίσης μάζας. Το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί α.α.τ. με \[D=k\]. Το ποσοστό μεταβολής της ενέργειας της α.α.τ. πριν και μετά την τοποθέτηση του δεύτερου σώματος είναι:

Η δυναμική ενέργεια της α.α.τ.:

Το σώμα μάζας \[m\] του παρακάτω σχήματος ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \[k\] που το πάνω άκρο του είναι προσδεδεμένο σε οροφή. Στη θέση αυτή το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά \[Δ\ell\]. Την \[t=0\] δίνω στο σώμα κατακόρυφη ταχύτητα \[υ_0\] με φορά προς τα πάνω και αυτό αρχίζει να εκτελεί α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς \[D=k\] και πλάτος ίσο με το \[Δ\ell\]. Τη χρονική στιγμή \[t_1=\frac{15T}{4}\] όπου \[Τ\] η περίοδος της α.α.τ. του σώματος τοποθετώ σ’ αυτό χωρίς αρχική ταχύτητα δεύτερο σώμα ίδιας μάζας \[m\]. Αμέσως μετά την τοποθέτηση, το σύστημα των δύο σωμάτων:

Σώμα ισορροπεί ακίνητο δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου που το άλλο του άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η Θ.Ι. του σώματος ταυτίζεται με τη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Ασκώ στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου \[F\] κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και αυτό αρχίζει να επιμηκύνεται. Το σώμα εκτελεί α.α.τ. Ποιες απ’ τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου-σώματος του παρακάτω σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη-τροχού με μικρή σταθερά απόσβεσης \[b\]. Η εξίσωση της διεγείρουσας δύναμης είναι \[F_δ=F_0\, συν10t\] (S.I.) όπου \[F_0\] η μέγιστη τιμή της. Το ελατήριο έχει σταθερά \[k= 50 \frac{N}{m}\], ενώ το σώμα έχει μάζα \[m=2 kg\]. Για να απορροφά το σύστημα από το διεγέρτη ενέργεια με το βέλτιστο τρόπο χωρίς ν’ αλλάξουμε τη συχνότητα του διεγέρτη πρέπει η μάζα του σώματος να μεταβληθεί κατά: