Τεστ στις ταλαντώσεις (Επίπεδο δυσκολίας: Μέτριο)

Αντιτιθέμενη δύναμη της μορφής \[F_ { αν } = - b υ \] όπου \[b\] θετική σταθερά και \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας δέχονται:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. με μέγιστη ταχύτητα \[υ_{max}\]. Τις στιγμές που η ταχύτητα του σημείου είναι \[υ=±\frac{ υ_{max} }{2}\], το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας της α.α.τ. προς την κινητική είναι \[\frac{U_T}{K}\] ίσο με:

Σε μια α.α.τ. η χρονοεξίσωση της ταχύτητας του ταλαντωτή δίνεται απ’ τη σχέση \[υ=υ_{max}\; ημ(ωt)\]. Η αντίστοιχη χρονοεξίσωση της απομάκρυνσης του ταλαντωτή είναι:

Το ιδανικό ελατήριο σταθεράς \[k\] του παρακάτω σχήματος έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο σε δάπεδο ενώ στο πάνω άκρο του έχουμε στερεώσει μάζα \[m\]. Το ελατήριο είναι συσπειρωμένο με τη βοήθεια κατακόρυφου αβαρούς νήματος και το σώμα στη θέση αυτή ισορροπεί ενώ το μέτρο της τάσης του νήματος είναι \[3mg\] όπου \[g\] η επιτάχυνση της βαρύτητας. Μια χρονική στιγμή κόβω το νήμα ακαριαία και το σώμα εκτελεί α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς \[D=k\]. Η μέγιστη επιτάχυνση της α.α.τ. του σώματος είναι:

Σε μια φθίνουσα αρμονική ταλάντωση το πλάτος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση \[ Α= 0,64 \, e^{-Λt} \] (S.I.). Την \[t_1=2\, s\] το πλάτος γίνεται \[Α_1=0,32\, m\]. Σε χρονικό διάστημα \[Δt=6\, sec\] μετά τη χρονική στιγμή \[t_1\] το πλάτος γίνεται \[A_2\] όπου:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. και ίδιων συχνοτήτων με διαφορά φάσης \[Δφ= φ_1 - φ_2 ≠ 0 \] και πλάτη \[Α_1,\, Α_2\] αντίστοιχα. Για να έχει η σύνθετη ταλάντωση τη φάση της δεύτερης επιμέρους ταλάντωσης πρέπει:

Ταλαντωτής εκτελεί α.α.τ. και η τροχιά που διαγράφει φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι \[Τ\] και το πλάτος της \[Α\], ενώ έχει αρχική φάση \[\frac{π}{2}\]. Το σημείο Γ βρίσκεται στη θέση \[x_Γ=-\frac{Α}{2}\]. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Σε μια α.α.τ. ο ταλαντωτής την \[t=0\] έχει μέγιστη θετική επιτάχυνση. Αυτό σημαίνει ότι η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\]. Όταν το σημείο βρίσκεται στις θέσεις \[x=±\frac{A}{2}\], το πηλίκο της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια \[\frac ΚU\] είναι ίσο με:

Το σώμα μάζας \[m\] του παρακάτω σχήματος ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \[k\] που το πάνω άκρο του είναι προσδεδεμένο σε οροφή. Στη θέση αυτή το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά \[Δ\ell\]. Την \[t=0\] δίνω στο σώμα κατακόρυφη ταχύτητα \[υ_0\] με φορά προς τα πάνω και αυτό αρχίζει να εκτελεί α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς \[D=k\] και πλάτος ίσο με το \[Δ\ell\]. Τη χρονική στιγμή \[t_1=\frac{15T}{4}\] όπου \[Τ\] η περίοδος της α.α.τ. του σώματος τοποθετώ σ’ αυτό χωρίς αρχική ταχύτητα δεύτερο σώμα ίδιας μάζας \[m\]. Αμέσως μετά την τοποθέτηση, το σύστημα των δύο σωμάτων:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι., ίδιας διεύθυνσης και ίσων περιόδων. Τη χρονική στιγμή \[t_α\] το σώμα έχει απομάκρυνση αλγεβρικής τιμής \[x\] ενώ οι απομακρύνσεις του την ίδια στιγμή αν εκτελούσε μόνο την πρώτη ή μόνο τη δεύτερη ταλάντωση έχουν αλγεβρικές τιμές \[x_1\] και \[x_2\] αντίστοιχα. Οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης \[φ\]. Για τις τιμές \[x,\, x_1,\, x_2\] ισχύει:

Σώμα εκτελεί α.α.τ. δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \[k\] που το άλλο άκρο του είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Το σώμα δέχεται τη δύναμη του ελατηρίου και το βάρος του. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. με εξισώσεις απομάκρυνσης \[x_1=0,1\, ημ(5t+φ)\] (S.I.) και \[x_2=0,1\, ημ5t\] (S.I.). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Αν η γωνία \[φ\]:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση που η δύναμη αντίστασης στην κίνηση συνδέεται με την ταχύτητα του ταλαντωτή σύμφωνα με τη σχέση \[F_{αν}=-bυ\], η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης:

Το σώμα του παρακάτω σχήματος ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \[k\] που το άλλο άκρο του είναι ακλόνητα δεμένο σε τοίχο. Το σώμα βρίσκεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης \[φ\]. Εκτρέπω το σώμα απ’ τη Θ.Ι. του μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος και απ’ τη θέση αυτή το αφήνω ελεύθερο. Το σώμα εκτελεί α.α.τ. με \[D=k\] πλάτους \[Α\] και περιόδου \[Τ\]. Αυξάνω τη γωνία του κεκλιμένου επιπέδου ώστε να γίνει \[φ'\] με \[ημφ'=2ημφ\] και επαναλαμβάνω το ίδιο ακριβώς πείραμα. Το σώμα εκτελεί πάλι α.α.τ. με σταθερά \[D=k\] πλάτους \[Α'\] και περιόδου \[Τ'\].

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή σε συνάρτηση με την απομάκρυνσή του. (Θεωρήστε \[\sqrt{3}\approx 1,7\]). Η απόσταση των σημείων Γ, Δ της τροχιάς του απ’ τις κοντινότερες σ’ αυτά αντίστοιχες ακραίες θέσεις της α.α.τ. είναι:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ το ίδιο σημείο με ίδια διεύθυνση και ίσες συχνότητες. Η σύνθετη κίνηση του σώματος είναι:

Σε μια α.α.τ. η χρονοεξίσωση της απομάκρυνσης του ταλαντωτή είναι \[x=A συν(ωt)\]. Η αντίστοιχη χρονοεξίσωση της ταχύτητας του ταλαντωτή είναι:

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση γύρω απ’ τη Θ.Ι. του Ο μεταξύ των σημείων Κ και Λ με περίοδο \[Τ\]. Τη στιγμή \[t_1\] ο ταλαντωτής βρίσκεται στο σημείο Ζ της τροχιάς και έχει ταχύτητα προς τα δεξιά. Τη χρονική στιγμή \[t_1+T\] ο ταλαντωτής:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. και με χρονοεξισώσεις απομακρύνσεων \[x_1=ημωt\] (S.I.) και \[x_2=\sqrt{3} \, συνωt\] (S.I.). Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι:

Οι χρονοεξισώσεις των απομακρύνσεων δύο α.α.τ. με κοινή διεύθυνση και Θ.Ι. είναι \[x_1=A_1 ημωt\] και \[x_2=A_2 ημωt\]. Η σύνθεση των παραπάνω α.α.τ. είναι μια α.α.τ. που η χρονοεξίσωση της απομάκρυνσής της δίνεται απ’ τη σχέση:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. με χρονοεξισώσεις απομάκρυνσης \[x_1=A\, ημω_1 t\] και \[x_2 = A\, ημω_2 t\] που οι \[ω_1,\, ω_2\] διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Η μέγιστη τιμή του πλάτους της συνισταμένης κίνησης είναι:

Η μέγιστη ταχύτητα του ταλαντωτή σε μια α.α.τ. εξαρτάται:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\].

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Η περίοδος της περιοδικής κίνησης του ωροδείκτη ενός ρολογιού είναι:

Ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση συχνότητας \[f\]. Ποιο απ’ τα διαγράμματα δείχνει τη σχέση της συχνότητας της ταλάντωσης με τη συχνότητα του διεγέρτη;

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη. Η σταθερά απόσβεσης είναι πολύ μικρή. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι \[f_δ\] και η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι \[f_0\]. Αν αρχικά \[f_δ < f_0\], για να βρεθεί το σύστημα σε κατάσταση συντονισμού πρέπει:

Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους και παραπλήσιων συχνοτήτων \[f_1,\, f_2\] με \[f_1 > f_2\]. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της απομάκρυνσης του σημείου κατά τη σύνθετη κίνησή του με το χρόνο. Αν για τα χρονικά διαστήματα \[Δt_1,\, Δt_2\] ισχύει \[Δt_1=50\, Δt_2\] τότε ο λόγος των επιμέρους συχνοτήτων είναι:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση η αντιτιθέμενη δύναμη είναι της μορφής \[F_{αν}=-bυ\], όπου \[b\] η σταθερά απόσβεσης. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Αν αυξήσω τη σταθερά απόσβεσης \[b\]: