Τεστ στα Κύματα Α (Επίπεδο δυσκολίας: Δύσκολο)

Δύο σύγχρονες πηγές \[Π_1\, ,\, Π_2\] δημιουργούν στην οριζόντια επιφάνεια ελαστικής μεμβράνης εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\] και γωνιακής συχνότητας \[ω\]. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η πρώτη αποσβεστική υπερβολή μετά τη μεσοκάθετο \[ε\] του ευθύγραμμου τμήματος \[Π_1Π_2\]. Σημείο \[Κ\] της επιφάνειας αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή \[t_1=\frac{4π }{ω}\] και όταν επέλθει η συμβολή σ’ αυτό, η ενέργεια της α.α.τ. του τετραπλασιάζεται. Οι αποστάσεις του \[Κ\] απ’ τις δύο πηγές είναι \[r_{1K}\, ,\, r_{2K}\] με \[r_{1K} > r_{2K}\]. Η απόσταση των ακραίων θέσεων της τροχιάς του \[Κ\] μετά την έναρξη της συμβολής των κυμάτων σ’ αυτό είναι:

Σε οριζόντια ελαστική χορδή που ταυτίζεται με τον άξονα \[x' Ox\] διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση \[x_K=-1,5\, m\] έχει τη χρονική στιγμή \[t_1\] φάση \[φ_{Κ,1}=6π\, rad\] ενώ σημείο Λ που βρίσκεται στη θέση \[x_Λ=1,5\, m\] έχει τη χρονική στιγμή \[t_2=t_1-\frac{3T}{2}\] και φάση \[φ_{Λ,2}=5π\, rad\].

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα που ταξιδεύει κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής (1) αλλάζει μέσο διάδοσης και εισέρχεται σε διαφορετική χορδή (2). Κατά τη μεταβολή του μέσου διάδοσης μεταβάλλεται:

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με μήκος κύματος \[λ\]. Τη στιγμή \[t_1\] η φάση του σημείου Ζ του μέσου είναι \[φ_{Ζ,1}=4π\, rad\] ενώ τη χρονική στιγμή \[t_2=t_1+3T\] η φάση άλλου σημείου Η του μέσου διάδοσης έχει φάση \[φ_{Η,2}=9π\, rad\]. Η απόσταση των θέσεων ισορροπίας των σημείων Ζ, Η είναι:

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ελαστικής χορδής που ταυτίζεται με τον άξονα \[x' x\]. Το κύμα περιγράφεται απ’ την εξίσωση \[y=A ημ2π\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{λ} \right) \]. Σημείο Ζ της χορδής βρίσκεται στη θέση \[x_Z\] και τη χρονική στιγμή \[t_1\] η παράσταση \[φ=2π\left( \frac{t_1}{T}+ \frac{x_Z}{λ} \right) \] είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι:

Δύο σύγχρονες πηγές εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων \[Π_1\, , \, Π_2\] δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα ίδιου πλάτους \[Α\]. Τα σημεία της επιφάνειας που παρουσιάζουν αποσβεστική συμβολή βρίσκονται:

Δύο σύγχρονες πηγές \[Π_1\, ,\, Π_2\] δημιουργούν σε επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\] και συχνότητας \[f\]. Σημείο Κ της επιφάνειας παρουσιάζει αποσβεστική συμβολή και βρίσκεται πάνω στην πρώτη αποσβεστική υπερβολή μετά τη μεσοκάθετο του τμήματος \[Π_1Π_2\] και πιο κοντά στην \[Π_2\]. Το ελάχιστο ποσοστό αύξησης της κοινής συχνότητας των δύο σύγχρονων πηγών ώστε το σημείο Κ να παραμένει σε απόσβεση είναι \[π=200 \%\]. Μετά την αύξηση της συχνότητας, ο αριθμός των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος \[Π_1Π_2\] που παρουσιάζουν αποσβεστική συμβολή:

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής τη στιγμή \[t_1\]. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι \[υ_δ\] ενώ τη στιγμή \[t_1\] η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ είναι \[υ_Τ\]. Τη στιγμή \[t_1\] το σημείο Σ έχει ταχύτητα:

Δύο σύγχρονες πηγές \[Π_1\, , \, Π_2\] βρίσκονται στα σημεία Κ, Λ αντίστοιχα οριζόντιας επιφάνειας ελαστικού μέσου και δημιουργούν σ’ αυτήν εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\] και μήκους κύματος \[λ_1=1\, m\]. Η απόσταση των Κ, Λ είναι \[ΚΛ=d=4\, m\]. Δύο σημεία Ζ, Η βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ. Το σημείο Ζ απέχει απ’ το σημείο Κ απόσταση \[r_{1Z}=1,2\, m\], ενώ το Η απέχει απ’ το Λ \[r_{2H}=0,7\, m\]. Μειώνω τη συχνότητα των δύο πηγών κατά \[50\, \%\] ενώ αυτές παραμένουν σύγχρονες και ίδιου πλάτους. Ο αριθμός των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΖΗ που τώρα εμφανίζουν αποσβεστική συμβολή είναι:

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του άξονα \[x' x\] σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Η εξίσωση της ταχύτητας των σημείων του μέσου είναι \[υ=0,02π\, συνπ(2t+x)\] (S.I.). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Κατά τη συμβολή δύο κυμάτων σ’ ελαστικό μέσο ισχύει η αρχή της επαλληλίας ή υπέρθεσης κατά την οποία:

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος \[λ\]. Η απόσταση των θέσεων ισορροπίας δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που κάθε στιγμή μετά την έναρξη των ταλαντώσεών τους έχουν ίσες απομακρύνσεις και ίσες ταχύτητες είναι:

Σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τη διεύθυνση του άξονα \[x'Ox\] διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα διάδοσης \[4\, \frac{m}{s}\]. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της απομάκρυνσης ενός σημείου Κ του μέσου με το χρόνο. Η απόσταση ενός όρους απ’ την επόμενη κοιλάδα του κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος είναι:

Στην επιφάνεια υγρού δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\], μήκους κύματος \[λ\] και περιόδου \[Τ\]. Η ευθεία \[ε\] της επιφάνειας του υγρού είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα \[Π_1Π_2\]. Το μήκος του \[Π_1Π_2\] είναι \[d=3,7\, λ\]. Στο σημείο Ζ της ευθείας \[ε\] τα κύματα που συμβάλλουν φτάνουν με χρονοκαθυστέρηση το ένα απ’ το άλλο ίση με \[\frac{3T }{2}\]. Πάνω στην ευθεία \[ε\] και μεταξύ των σημείων \[Π_2\] και Ζ, ο αριθμός των σημείων που παρουσιάζουν αποσβεστική συμβολή είναι:

Η εξίσωση τρέχοντος διαμήκους αρμονικού κύματος είναι \[y=20 ημ2π\left( 10t - 0,05 x \right)\] (\[x, y\] σε \[cm\], \[t\] σε \[sec\]). Το σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση με \[x_K=20\, cm\], φτάνει για πρώτη φορά σε απομάκρυνση \[y_K=0,1\, m\] τη χρονική στιγμή:

Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων \[Π_1\, ,\, Π_2\] δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\] και μήκους κύματος \[λ\]. Τα σημεία \[Ζ\, ,\, Η\] της επιφάνειας είναι δύο διαδοχικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος \[Π_1Π_2\] που παρουσιάζουν αποσβεστική συμβολή. Η απόσταση \[ΖΗ\] των δύο σημείων είναι:

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά σε ομογενές οριζόντιο ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τη διεύθυνση του άξονα \[x' x\]. Την \[t=0\] το κύμα φτάνει στην αρχή του άξονα Ο που αρχίζει να ταλαντώνεται με θετική ταχύτητα. Σε μια περίοδο το σημείο Ο διανύει \[0,4\, m\] ενώ σε \[Δt=2\, s\] μια κοιλάδα μεταφέρεται κατά \[Δx=40\, m\]. Απ’ τη στιγμή που από ένα σημείο περνά ένα όρος μέχρι να διέλθει από αυτό το μεθεπόμενο όρος περνά χρονικό διάστημα \[Δt_1=0,2\, s\]. Η εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα είναι:

Πηγή αρμονικών μηχανικών κυμάτων δημιουργεί σε ελαστική χορδή κύμα. Δύο σημεία της χορδής μια στιγμή \[t_1\] που και τα δύο σημεία έχουν αρχίσει να ταλαντώνονται, έχουν διαφορά φάσης \[Δφ=2π\, rad\]. Αν η συχνότητα της πηγής ήταν διπλάσια, τότε η διαφορά φάσης των δύο παραπάνω σημείων τη στιγμή \[t_1\] είναι:

Σε ελαστικό ομογενές μέσο που ταυτίζεται με τον άξονα \[x' Ox\] διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά τη θετική φορά. Το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται την \[t=0\] με θετική ταχύτητα. Τη χρονική στιγμή \[t_1\] που η αρχή Ο περνά για έβδομη φορά απ’ τη Θ.Ι. της, το κύμα φτάνει στο σημείο Κ. Αν Λ είναι το πρώτο σημείο του θετικού ημιάξονα που βρίσκεται σε αντίθεση φάσης με το Ο και \[t_Λ\] είναι η στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται το Λ, τότε στο χρονικό διάστημα \[Δt=t_1-t_Λ\], η φάση της αρχής Ο μεταβάλλεται κατά \[Δφ_0\] όπου:

Στο δεξί άκρο ελαστικής χορδής που εκτείνεται στη διεύθυνση του αρνητικού ημιάξονα \[x' O\] υπάρχει πηγή αρμονικών κυμάτων. Η πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται την \[t=0\] και το κύμα που δημιουργεί διαδίδεται στη χορδή και έχει περίοδο \[T\]. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο του κύματος που έχει δημιουργηθεί στη χορδή τη χρονική στιγμή \[t_1\]. Η διαφορά φάσης του Ζ και του Λ είναι \[Δφ=φ_Ζ-φ_Λ\] με:

Σε οριζόντιο ελαστικό μέσο που εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα \[x' Ox\] δημιουργείται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή \[t_1\] στο τμήμα ΚΛ του μέσου. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι \[υ_δ=2\, \frac{m}{s}\] και η περίοδός του είναι \[Τ\]. Αν η φάση του Ζ τη στιγμή \[t_1\] είναι μεγαλύτερη από τη φάση του Η τη στιγμή \[t_1\], τότε τη στιγμή αυτή το Ζ έχει:

Στην επιφάνεια υγρού δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\], μήκους κύματος \[λ\] και \[φ_0=0\]. Στο παρακάτω σχήμα πάνω στους συνεχείς κύκλους βρίσκονται τα σημεία απ’ τα οποία περνάει τη συγκεκριμένη στιγμή όρος ενώ στους διακεκομμένους κύκλους βρίσκονται τα σημεία απ’ τα οποία την ίδια στιγμή περνά κοιλάδα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Αρμονικό κύμα με εξίσωση \[y=A ημ2π\left( \frac{t}{T}-\frac{x}{λ}\right) \] διαδίδεται κατά μήκος χορδής που ταυτίζεται με τον άξονα \[x' Ox\]. Δύο σημεία Κ,Λ τη χρονική στιγμή \[t_1\] έχουν φάσεις \[φ_{(Κ,1)}=\frac{π}{3}\, rad\] και \[φ_{(Λ,1)}=\frac{π}{6}\, rad\] αντίστοιχα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Κατά μήκος ομογενούς ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα \[x' Ox\] διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος \[λ\] και περιόδου \[T\]. Δύο σημεία Κ, Λ αρχίζουν να ταλαντώνονται πριν τη χρονική στιγμή \[t_1\]. Το σημείο Κ έχει τη χρονική στιγμή \[t_2=t_1+\frac{T}{6}\] φάση \[φ_{Κ,2}=\frac{10π}{3}\, rad\] ενώ το σημείο Λ έχει τη χρονική στιγμή \[t_3=t_1+\frac{4T}{3}\] φάση \[φ_{Λ,3}=\frac{25π}{3}\, rad\]. A. Οι θέσεις ισορροπίας των σημείων Κ, Λ απέχουν μεταξύ τους:

Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων \[Π_1 \, , \, Π_2\] ταλαντώνονται με ίδια εξίσωση ταλάντωσης \[y=0,1\, ημ10πt\] (S.I.) και δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Τα σημεία \[Κ\, ,\, Λ\] της επιφάνειας βρίσκονται στο ευθύγραμμο τμήμα \[Π_1Π_2\] και ταλαντώνονται με πλάτος \[0,2\, m\] μετά τη συμβολή των κυμάτων σ’ αυτά. Μεταξύ των σημείων \[Κ\] και \[Λ\] και πάνω στο τμήμα \[Π_1Π_2\] υπάρχει μόνο ένα σημείο στο οποίο παρουσιάζεται ενισχυτική συμβολή. Η απόσταση των δύο σημείων είναι \[ΚΛ=2\, m\]. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων στην επιφάνεια είναι:

Σε ομογενή ελαστική χορδή διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους \[Α=0,01\, m\]. Η χορδή ταυτίζεται με τον άξονα \[x' x\] και η διάδοση του κύματος γίνεται κατά τη θετική φορά χωρίς αρχική φάση. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η χρονική μεταβολή της φάσης του σημείου Ζ της χορδής που βρίσκεται στη θέση \[x_Z=6\, m\]. Η εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα είναι:

Πηγή εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στο αριστερό άκρο Ο ελαστικής χορδής που ταυτίζεται με τον θετικό ημιάξονα \[Ox\]. Η πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται την \[t=0\] και δημιουργεί αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Η περίοδος του κύματος είναι \[T]. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή \[t=t_1\] που έχει δημιουργηθεί στη χορδή. Η διαφορά φάσης των σημείων Ζ, Η τη στιγμή \[t_1\] είναι \[Δφ=φ_Η-φ_Ζ\] με:

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται διάμηκες αρμονικό κύμα. Η απόσταση ενός πυκνώματος από το επόμενό του αραίωμα είναι \[d\]. Τα σημεία Κ, Λ μετά την έναρξη της α.α.τ. τους βρίσκονται σε αντίθεση φάσης ενώ μεταξύ τους υπάρχουν \[10\] σημεία που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με το Κ. Η διαφορά φάσης \[Δφ=φ_Κ-φ_Λ\] αν το κύμα διαδίδεται απ’ το Λ προς το Κ είναι:

Δύο σύγχρονες πηγές \[Π_1\, , \, Π_2\] δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους \[Α\], ταχύτητας διάδοσης \[υ_δ\] και έχουν εξισώσεις ταλάντωσης της μορφής \[y=A ημ \frac{ 2πt}{T}\]. Σημείο Ζ της επιφάνειας απέχει απ’ τις δύο πηγές αποστάσεις \[r_{1Z}\, , \, r_{2Z}\] με \[r_{1Z} < r_{2Z} \]. Το σημείο Ζ αρχίζει να ταλαντώνεται όταν η πηγή \[Π_2\] περνά για έκτη φορά απ’ τη Θ.Ι. της μετά την έναρξη της ταλάντωσής της. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η χρονική μεταβολή της ταχύτητας του Ζ. Αν υποδιπλασιάσουμε τη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών ώστε αυτές να παραμένουν σύγχρονες και να ταλαντώνονται με ίδιο πλάτος \[Α\], τότε το σημείο Ζ:

Κατά μήκος οριζόντιου ελατηρίου που ταυτίζεται με τον άξονα \[x' Ox\], δημιουργείται διάμηκες αρμονικό κύμα. Η φορά διάδοσής του είναι θετική. Η αρχή Ο του άξονα αρχίζει να ταλαντώνεται την \[t=0\] με θετική ταχύτητα. Κάθε σπείρα απ’ τη στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται μέχρι να σταματήσει για πρώτη φορά διανύει απόσταση \[0,05\, m\] ενώ για να συμβεί αυτό απαιτείται χρόνος \[Δt=0,5\, s\]. Το κύμα σε \[Δt=2\, s\] διανύει απόσταση \[Δx=8\, m\]. Η εξίσωση του κύματος δίνεται απ’ τη σχέση: