Τεστ στις ταλαντώσεις (Επίπεδο δυσκολίας: Μέτριο)

Το σύστημα ιδανικό ελατήριο σταθεράς \[k\] και σώμα μάζας \[m\] του παρακάτω σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη-τροχού. Το σώμα δέχεται αντιτιθέμενη δύναμη της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] θετική σταθερά και \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για το σύστημα γράφεται:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, γύρω απ’ την ίδια θέση ισορροπίας με χρονοεξισώσεις απομακρύνσεων \[x_1=A\, ημ2πf_1 t\] και \[x_2=A\, ημ2πf_2 t\] με \[ f_1 ≈ f_2 \]. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων του πλάτους είναι:

Σώμα εκτελεί α.α.τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα της μεταβολής της απομάκρυνσης του ταλαντωτή απ’ τη Θ.Ι. του σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και δέχεται δύναμη αντίστασης που είναι ανάλογη κατά μέτρο με το μέτρο της ταχύτητάς του, δηλαδή είναι της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] θετική σταθερά. Η συνισταμένη δύναμη που δέχεται τότε ο ταλαντωτής ισούται με:

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η δύναμη επαναφοράς είναι συμφασική:

Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση ο ταλαντωτής έχει συντονιστεί με το διεγέρτη. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Η περίοδος της περιοδικής κίνησης του ωροδείκτη ενός ρολογιού είναι:

Σώμα εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και το πλάτος της μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση \[Α=Α_0\, e^{-Λt}\] όπου \[A_0\] το πλάτος τη στιγμή \[t=0\] και \[Λ\] μια θετική σταθερά. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Για συγκεκριμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης \[b\]:

Σώμα εκτελεί α.α.τ. ενέργειας \[Ε_Τ\]. Για να τετραπλασιάσω τη μέγιστη επιτάχυνση του ταλαντωτή, πρέπει να του προσφέρω επιπλέον ενέργεια ίση με:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και ισορροπεί ακίνητο στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Απ’ τη θέση αυτή εκτρέπω το σώμα κατά \[x_0\] απ’ τη Θ.Ι. του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και απ’ τη θέση αυτή την \[t=0\] του προσδίνω ταχύτητα \[υ_0\] ίδιας διεύθυνσης με αυτήν της \[x_0\]. Το σώμα αρχίζει να εκτελεί α.α.τ. Ποιες απ’ τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Σώμα εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση δεχόμενη δύναμη αντιτιθέμενη στην κίνηση της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας και \[b\] μια θετική σταθερά. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Για συγκεκριμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης \[b\]:

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση γύρω απ’ τη Θ.Ι. του Ο μεταξύ των σημείων Κ και Λ με περίοδο \[Τ\]. Τη στιγμή \[t_1\] ο ταλαντωτής βρίσκεται στο σημείο Ζ της τροχιάς του και κινείται προς τα δεξιά. Τη χρονική στιγμή \[t_1+T\] ο ταλαντωτής:

Το πλάτος της εξαναγκασμένης μηχανικής ταλάντωσης:

Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ταλαντωτή απ’ τη Θ.Ι. του σε μια φθίνουσα αρμονική ταλάντωση. Η αντιτιθέμενη δύναμη που δέχεται ο ταλαντωτής:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. με χρονοεξισώσεις απομακρύνσεων \[x_1=A\, ημω_1 t\] και \[x_2=A\, ημω_2 t\] με \[ ω_1 ≈ ω_2 \] και \[ω_1 > ω_2 \]. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους είναι:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο επιμέρους α.α.τ. γύρω απ’ την ίδια θέση ισορροπίας ίδιων διευθύνσεων. Οι χρονοεξισώσεις των απομακρύνσεων των δύο επιμέρους α.α.τ. είναι αντίστοιχα \[x_1=A_1\, ημωt\] και \[x_2=A_2\, ημ(ωt+φ)\]. Η χρονοεξίσωση της ολικής απομάκρυνσης του σώματος είναι \[x=A\, ημ(ωt+θ)\] όπου η \[εφθ\] είναι:

Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. ίσων πλατών και παραπλήσιων συχνοτήτων. Η συχνότητα της πρώτης ταλάντωσης είναι \[f_1=108\, Hz\]. Αν αυξήσω κατά \[2\, Hz\] τη συχνότητα της δεύτερης ταλάντωσης παρατηρώ ότι το σημείο εκτελεί α.α.τ. Η αρχική συχνότητα της δεύτερης ταλάντωσης είναι:

Αν διπλασιάσω τη μέγιστη ταχύτητα της α.α.τ. ενός υλικού σημείου χωρίς ν' αλλάξει η μάζα του ή η σταθερά επαναφοράς, τότε:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση ενός σώματος που η δύναμη που αντιστέκεται στην κίνησή του είναι της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] μια θετική σταθερά και \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του:

Ταλαντωτής εκτελεί α.α.τ. περιόδου \[Τ\]. Την \[t=0\] ο ταλαντωτής έχει αρνητική ταχύτητα και δέχεται μηδενική δύναμη επαναφοράς. Τη χρονική στιγμή \[t_1=\frac{T}{12}\] ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της α.α.τ. είναι:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η Θ.Ι. του ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Το σύστημα εκτελεί α.α.τ. Το ελατήριο έχει σταθερά επαναφοράς \[k\] και το σώμα μάζα \[m\]. Ποιες απ’ τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Ποιες απ’ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Η επιτάχυνση σε μια α.α.τ.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των επιταχύνσεων δύο απλών αρμονικών ταλαντωτών σε συνάρτηση με το χρόνο. Οι μάζες τους ικανοποιούν τη σχέση \[m_1=2m_2\].

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\] και περιόδου \[Τ\]. Τη χρονική στιγμή \[t=0\] ο ταλαντωτής έχει απομάκρυνση \[x=A\]. Ο ταλαντωτής περνά για δεύτερη φορά απ’ τη Θ.Ι. του τη χρονική στιγμή:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης γύρω απ’ την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των ταλαντώσεων αυτών είναι \[x_1=0,4\, ημ\left( 10t+\frac{5π}{3} \right)\] (S.I.), \[x_2=0,2\, ημ10t\] (S.I.), \[x_3=0,3\, ημ \left( 10t+\frac{2π}{3} \right)\] (S.I.). Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη που στρέφεται με συχνότητα \[ f_δ \]. Η ταλάντωση γίνεται σε περιβάλλον μικρής απόσβεσης. Αρχικά ισχύει \[f_δ > f_0\]. Για να απορροφά ο ταλαντωτής ενέργεια απ’ το διεγέρτη με το βέλτιστο τρόπο, τότε πρέπει:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση το πλάτος της μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση \[Α=0,3e^{-Λt}\] (S.I.) όπου \[Λ\] μια θετική σταθερά. Το πλάτος γίνεται \[Α_1=0,15\, m\] τη χρονική στιγμή \[t_1=2\, s\]. Αν το αρχικό πλάτος στην ίδια ταλάντωση ήταν \[A_0'=0,4\, m\] το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να γίνει \[Α_1'=0,2\, m\] είναι:

Σε μια μηχανική ταλάντωση η δύναμη της αντίστασης με την ταχύτητα συνδέεται με τη σχέση \[F_{αν}=-bυ\]. Αν αυξήσω το συντελεστή απόσβεσης \[b\] τότε:

Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. και ίσων πλατών. Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων είναι \[f_1,\, f_2\] αντίστοιχα με \[f_1 ≈ f_2\]. Ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελεί το σημείο μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων του πλάτους του είναι:

Δύο διαπασών \[Δ_1\], \[Δ_2\] που τοποθετούνται το ένα κοντά στο άλλο παράγουν ήχους ίδιας έντασης (πλάτους) και παραπλήσιων συχνοτήτων \[f_1,\, f_2\]. Ο σύνθετος ήχος που δημιουργείται παρουσιάζει περιοδικές αυξομειώσεις στην έντασή του. Ένας ανιχνευτής σύνθετου ήχου μετρά \[10\] μεγιστοποιήσεις της έντασης του ήχου σε \[Δt=5\, sec\]. Αν μειώσω απειροελάχιστα τη συχνότητα του δεύτερου διαπασών ο ανιχνευτής ήχων παρατηρεί μείωση των μέγιστων του σύνθετου ήχου στη μονάδα του χρόνου. Τοποθετώ στο πρώτο διαπασών μικρό κομμάτι πλαστελίνης και μεταβάλλω τη συχνότητά του. Η απόλυτη τιμή του επί τοις εκατό ποσοστού μεταβολής της συχνότητας αυτής είναι \[0,5\, \%\] και τότε ο ανιχνευτής μετρά \[20\] μεγιστοποιήσεις της έντασης του ήχου σε \[Δt=5\, sec\]. Οι αρχικές συχνότητες \[f_1,\, f_2\] των δύο διαπασών είναι: