Τεστ στις ταλαντώσεις (Επίπεδο δυσκολίας: Μέτριο)

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη-τροχού με μικρή σταθερά απόσβεσης. Ο τροχός έχει σταθερή συχνότητα \[f_1 = 2 f_0\] όπου \[f_0\] είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Για να γίνει κάθε στιγμή ο ρυθμός της απορροφούμενης ενέργειας του ταλαντωτή απ’ το διεγέρτη ίσος με το ρυθμό απώλειας ενέργειας του ταλαντωτή λόγω της αντιτιθέμενης δύναμης χωρίς ν’ αλλάξω τη συχνότητα του διεγέρτη πρέπει η σταθερά του ελατηρίου να μεταβληθεί κατά:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και ισορροπεί ακίνητο στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Στη θέση αυτή προσδίνω στο σώμα ταχύτητα \[υ_0\] που έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Το σύστημα αρχίζει να εκτελεί α.α.τ. Επαναλαμβάνω ακριβώς το ίδιο πείραμα διπλασιάζοντας το μέτρο της \[υ_0\]. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι., ίδιας διεύθυνσης και ίσων περιόδων. Τη χρονική στιγμή \[t_α\] το σώμα έχει απομάκρυνση αλγεβρικής τιμής \[x\] ενώ οι απομακρύνσεις του την ίδια στιγμή αν εκτελούσε μόνο την πρώτη ή μόνο τη δεύτερη ταλάντωση έχουν αλγεβρικές τιμές \[x_1\] και \[x_2\] αντίστοιχα. Οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης \[φ\]. Για τις τιμές \[x,\, x_1,\, x_2\] ισχύει:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. κοινής διεύθυνσης και Θ.Ι. Οι μεταβολές των απομακρύνσεών τους με το χρόνο φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Σώμα εκτελεί α.α.τ. με περίοδο \[ T \]. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η μεταβολή της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Σε μια κίνηση που η αντιτιθέμενη δύναμη είναι της μορφής \[F_{αν}=-bυ\], όπου \[b\] η σταθερά απόσβεσης και \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας, η σταθερά \[b\] έχει πολύ μεγάλη τιμή. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Σε μια απλή φθίνουσα αρμονική ταλάντωση σώματος μάζας \[m\], η δύναμη της αντίστασης \[F_{αν}\] με την ταχύτητα του ταλαντωτή \[υ\] συνδέονται απ’ τη σχέση \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] θετική σταθερά. Η γωνιακή συχνότητα της φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται απ’ τη σχέση \[ ω = \sqrt{ \frac{D}{m}-\left( \frac{b}{2m} \right)^2 }\] όπου \[D\] η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης. Σύμφωνα με τη σχέση αυτή μπορούμε να ταυτίσουμε προσεγγιστικά την περίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης με την περίοδο \[T_0\] που θα είχε ο ταλαντωτής όταν εκτελούσε α.α.τ. αν:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη τροχού και με μικρή σταθερά απόσβεσης. Μειώνω αργά τη συχνότητα του διεγέρτη από μια τιμή \[f_1\] ως την τιμή \[f_2=60\, Hz\]. Στη διάρκεια της μείωσης αυτής παρατηρώ ότι το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς αυξάνεται ακόμα και αν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει λίγο μικρότερη της \[f_2\]. Απ’ αυτό συμπεραίνουμε ότι η ιδιοσυχνότητα του συστήματος \[f_0\] είναι:

Το σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα του παρακάτω σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη. Η σταθερά απόσβεσης \[b\] της αντιτιθέμενης δύναμης είναι πολύ μικρή. Αρχικά το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και η συχνότητα περιστροφής του τροχού είναι \[f_1\]. Αν αντικαταστήσω το ελατήριο με κάποιο άλλο διπλάσιας σταθεράς \[k\], για να βρεθεί το νέο σύστημα πάλι σε κατάσταση συντονισμού η συχνότητα του τροχού μεταβάλλεται στην τιμή \[f_2\]. Για τις συχνότητες \[f_1,\, f_2\] ισχύει:

Η δυναμική ενέργεια της α.α.τ.:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη. Το σώμα δέχεται αντιτιθέμενη δύναμη της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] και η σταθερά απόσβεσης είναι πολύ μικρή. Στη διάρκεια της ταλάντωσης ο ταλαντωτής απορροφά ενέργεια απ’ το διεγέρτη κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Τα σώματα \[Σ_1\], \[Σ_2\] του παρακάτω σχήματος ηρεμούν δεμένα στα κάτω άκρα πανομοιότυπων κατακόρυφων ελατηρίων που τα άλλα άκρα τους είναι ακλόνητα στερεωμένα σε οροφή. Τα σώματα έχουν μάζες \[m_1\] και \[m_2=2m_1\] αντίστοιχα. Εκτρέπω τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω μέχρι τα δύο ελατήρια ν’ αποκτήσουν το φυσικό τους μήκος και απ’ τη θέση αυτή τα αφήνω ελεύθερα να κινηθούν. Τα σώματα εκτελούν α.α.τ. Ο λόγος των μέγιστων δυναμικών ενεργειών των δύο ελατηρίων κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων είναι:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση το πλάτος μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση \[Α=Α_0\, e^{-Λt} \] όπου \[Λ\] θετική σταθερά. Την \[t=0\] η ενέργεια της ταλάντωσης είναι \[E_{T,0}\]. Η χρονική στιγμή \[t_1\] που η ταλάντωση γίνεται \[ E_{T,1} = \frac{ E_{T,0} }{32 }\] είναι:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\].

Ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η δύναμη αντίστασης στην κίνησή του είναι της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] η σταθερά απόσβεσης και \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του. Την \[t=0\] ο ταλαντωτής έχει πλάτος \[Α_0\], ενώ τη χρονική στιγμή \[t_1=4\, s\] το πλάτος του γίνεται \[Α_1=\frac{Α_0}{2}\]. Η χρονική διάρκεια \[Δt\] απ’ την \[t_1\] ως τη στιγμή \[t_2\] που το πλάτος γίνεται \[Α_2=\frac{Α_0}{8}\] είναι:

Ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα \[f_α\]. Η δυναμική και η κινητική ενέργεια της α.α.τ. μεταβάλλονται περιοδικά με συχνότητα \[f_β\]. Η σχέση που συνδέει τις \[f_α\] και \[f_β\] είναι:

Ταλαντωτής μάζας \[m\] εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\] και γωνιακής συχνότητας \[ω\].

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. μεταξύ των ακραίων θέσεων Κ, Λ γύρω απ’ τη θέση ισορροπίας Ο. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Το έργο της δύναμης επαναφοράς:

Σύστημα ελατήριο-σώμα δέχεται αντιτιθέμενη δύναμη στην κίνησή του της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] και περιοδική δύναμη \[F=F_0\, συνωt\] με \[ω\] που μπορεί να μεταβάλλεται. Τότε:

Δύο σώματα με μάζες \[m_1, m_2\] όπου \[m_1 > m_2\] ισορροπούν ακίνητα δεμένα στα ελεύθερα κάτω άκρα όμοιων κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων που τα πάνω άκρα τους είναι προσδεμένα ακλόνητα σε οροφή. Εκτρέπω και τα δύο σώματα κατά \[d\] κατακόρυφα προς τα κάτω και τα αφήνω ταυτόχρονα ελεύθερα απ’ τις θέσεις αυτές. Τα σώματα εκτελούν α.α.τ.

Σώμα μάζας \[m_1\] εκτελεί α.α.τ. πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο πλάτους Α και περιόδου \[Τ_1\]. Κάποια στιγμή που περνά απ’ τη Θ.Ι. του συγκρούεται με αρχικά ακίνητο σώμα ίσης μάζας \[m_2=m_1\]. Η κρούση είναι μετωπική και πλαστική. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί α.α.τ. με περίοδο \[T_2\].

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\] και περιόδου \[Τ\]. Αν διπλασιάσω το πλάτος της α.α.τ. του ίδιου ταλαντωτή, τότε:

Τα δύο κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια του διπλανού σχήματος έχουν σταθερές \[k_1, k_2\] και το σώμα μάζας \[m\] είναι προσδεμένο στα ελεύθερα άκρα και των δύο ελατηρίων. Στη Θ.Ι. του σώματος, τα δύο ελατήρια έχουν παραμορφώσεις \[Δ\ell_1\] και \[Δ\ell_2\] αντίστοιχα. Εκτρέπω το σώμα κατά \[d\] κατακόρυφα προς τα κάτω και το αφήνω απ’ τη θέση αυτή ελεύθερο. Το σώμα εκτελεί α.α.τ. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Σύστημα ιδανικό ελατήριο σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη που στρέφεται με συχνότητα \[ f_δ \]. Η ταλάντωση γίνεται σε περιβάλλον μικρής απόσβεσης. Αρχικά ισχύει \[f_δ > f_0\]. Για να απορροφά ο ταλαντωτής ενέργεια απ’ το διεγέρτη με το βέλτιστο τρόπο, τότε πρέπει:

Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου-σώματος του παρακάτω σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη-τροχού με μικρή σταθερά απόσβεσης \[b\]. Η εξίσωση της διεγείρουσας δύναμης είναι \[F_δ=F_0\, συν10t\] (S.I.) όπου \[F_0\] η μέγιστη τιμή της. Το ελατήριο έχει σταθερά \[k= 50 \frac{N}{m}\], ενώ το σώμα έχει μάζα \[m=2 kg\]. Για να απορροφά το σύστημα από το διεγέρτη ενέργεια με το βέλτιστο τρόπο χωρίς ν’ αλλάξουμε τη συχνότητα του διεγέρτη πρέπει η μάζα του σώματος να μεταβληθεί κατά:

Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εκτελούνται στην ίδια διεύθυνση γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. Οι χρονοεξισώσεις των απομακρύνσεών τους είναι \[x_1=0,1\, ημ402πt\] (S.I.) και \[x_2=0,1\, ημ398πt\] (S.I.). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Οι χρονοεξισώσεις των απομακρύνσεων δύο α.α.τ. με κοινή διεύθυνση και Θ.Ι. είναι \[x_1=A_1 ημωt\] και \[x_2=A_2 ημωt\]. Η σύνθεση των παραπάνω α.α.τ. είναι μια α.α.τ. που η χρονοεξίσωση της απομάκρυνσής της δίνεται απ’ τη σχέση:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Να αντιστοιχίσετε τα παρακάτω μεγέθη με τα αντίστοιχα διαγράμματα.

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση και έχει ιδιοσυχνότητα \[f_0\] με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη που στρέφεται με σταθερή συχνότητα \[f_δ\]. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Αν για τις δύο συχνότητες ισχύει \[f_δ = f_0\] τότε:

Τα σώματα Α, Β είναι προσδεμένα σε όμοια ελατήρια σταθεράς \[k\] και εκτελούν α.α.τ. Ο ταλαντωτής Α έχει περίοδο \[Τ_1=2π\, s\] ενώ ο Β \[Τ_2=6π\, sec\]. Αν προσδέσω μέσω νήματος τα δύο σώματα, τότε το σύστημά τους θα εκτελεί α.α.τ. δεμένο σε όμοιο με τα αρχικά ελατήριο με περίοδο \[T\] και ισχύει: