Τεστ στις ταλαντώσεις (Επίπεδο δυσκολίας: Μέτριο)

Σε μια φθίνουσα αρμονική ταλάντωση το πλάτος της δίνεται απ’ τη σχέση \[Α=Α_0\, e^{-Λt}\] όπου \[Λ\] θετική σταθερά. Τη χρονική στιγμή \[t_1\] που ο ταλαντωτής ολοκληρώνει τις πρώτες \[8\] πλήρεις ταλαντώσεις του το πλάτος του υποτετραπλασιάζεται. Τη στιγμή \[t_2\] που ο ταλαντωτής εκτελεί επιπλέον \[16\] πλήρεις ταλαντώσεις μετά τη στιγμή \[t_1\] το πλάτος του ταλαντωτή \[A_2\] είναι:

Ταλαντωτής ιδιοσυχνότητας \[f_0\] εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια διεγέρτη συχνότητας \[f_δ\]. Αν η τιμή \[|f_0-f_δ |\] μειώνεται τότε:

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Σε μια α.α.τ. για τα μεγέθη ταχύτητα και επιτάχυνση του ταλαντωτή ισχύει:

Ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η δύναμη αντίστασης στην κίνησή του είναι της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] όπου \[b\] η σταθερά απόσβεσης και \[υ\] η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του. Την \[t=0\] ο ταλαντωτής έχει πλάτος \[Α_0\], ενώ τη χρονική στιγμή \[t_1=4\, s\] το πλάτος του γίνεται \[Α_1=\frac{Α_0}{2}\]. Η χρονική διάρκεια \[Δt\] απ’ την \[t_1\] ως τη στιγμή \[t_2\] που το πλάτος γίνεται \[Α_2=\frac{Α_0}{8}\] είναι:

Σώμα εκτελεί α.α.τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα της μεταβολής της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Σε μια α.α.τ. το μέγεθος απομάκρυνση του ταλαντωτή απ’ τη Θ.Ι.:

Το σώμα \[Σ_1\] του σχήματος εκτελεί α.α.τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο του ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \[k\]. Η περίοδος της α.α.τ. του \[Σ_1\] είναι \[Τ\] και το πλάτος της \[Α\]. Όταν το σώμα φτάνει στη δεξιά ακραία θέση του συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με βλήμα \[Σ_2\] . Το συσσωμάτωμα εκτελεί α.α.τ. Η α.α.τ. του συσσωματώματος:

Το σύστημα των σωμάτων \[Σ_1\] , \[Σ_2\] με μάζες \[m_1=m_2\] του παρακάτω σχήματος εκτελούν α.α.τ. με ενέργεια \[Ε_1\] έτσι ώστε μόλις να φτάσει στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Στη θέση αυτή κόβω ακαριαία το νήμα και το \[m_1\] συνεχίζει να εκτελεί α.α.τ. με ενέργεια \[E_2\]. Για τις ενέργειες \[Ε_1\] , \[Ε_2\] ισχύει:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. και ίδιας διεύθυνσης που έχουν ενέργειες \[Ε_{Τ,1},\, Ε_{Τ,2}\] αντίστοιχα ενώ η σύνθετη ταλάντωση έχει ενέργεια \[Ε_Τ\] που ικανοποιεί τη σχέση \[Ε_Τ = Ε_{Τ,1} = Ε_{Τ,2}\]. Η διαφορά φάσης των δύο επιμέρους α.α.τ. είναι:

Δύο όμοια ιδανικά ελατήρια κρέμονται από ακλόνητα σημεία. Στα κάτω άκρα των ελατηρίων προσδένονται σώματα \[Σ_1\] μάζας \[m_1\] και \[Σ_2\] μάζας \[m_2\]. Κάτω απ’ το σώμα \[Σ_1\] δένουμε μέσω αβαρούς νήματος άλλο σώμα μάζας \[m_2\] ενώ κάτω απ’ το \[Σ_2\] δένουμε σώμα μάζας \[m_1\] (\[m_1≠m_2\] όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα). Αρχικά τα σώματα είναι ακίνητα. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε τα νήματα και τα σώματα \[Σ_1\] , \[Σ_2\] αρχίζουν να ταλαντώνονται. Αν η ενέργεια της α.α.τ. του \[Σ_1\] είναι \[Ε_1\] και του \[Σ_2\] είναι \[Ε_2\], τότε ισχύει:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί α.α.τ. Για να διπλασιάσω τη μέγιστη επιτάχυνση του σώματος χωρίς να μεταβάλω το πλάτος της α.α.τ. πρέπει:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση το πλάτος μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση \[Α=Α_0\, e^{-Λt}\] όπου \[Λ\] θετική σταθερά. Απ’ τη στιγμή \[t=0\] ως τη στιγμή \[t_1\] το επί τοις εκατό ποσοστό μεταβολής της ενέργειας της ταλάντωσης είναι \[π_2=-\frac{63}{64}⋅100 \% \]. Στο ίδιο χρονικό διάστημα το επί τοις εκατό ποσοστό μεταβολής του πλάτους της ταλάντωσης είναι:

Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση που η δύναμη αντίστασης στην κίνηση συνδέεται με την ταχύτητα του ταλαντωτή σύμφωνα με τη σχέση \[F_{αν}=-bυ\], η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης:

Σύστημα ιδανικό ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη. Ο ταλαντωτής δέχεται αντιτιθέμενη δύναμη της μορφής \[F_{αν}=-bυ\] και η σταθερά απόσβεσης είναι πολύ μικρή. Στη διάρκεια αυτής της ταλάντωσης ο ταλαντωτής έχει το μέγιστο δυνατό πλάτος του. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι., ίδιου πλάτους και συχνοτήτων που διαφέρουν ελάχιστα. Η σύνθετη κίνηση που προκύπτει:

Σώμα εκτελεί α.α.τ. ενέργειας \[Ε_Τ\]. Για να τετραπλασιάσω τη μέγιστη επιτάχυνση του ταλαντωτή, πρέπει να του προσφέρω επιπλέον ενέργεια ίση με:

Ταλαντωτής έχει ιδιοσυχνότητα \[f_0\] και εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση σταθερού πλάτους \[A\] με την επίδραση διεγείρουσας δύναμης \[F_δ\] που έχει τη μορφή \[F_δ=F_0\, συν2πf_δ t\]. Η χρονοεξίσωση της επιτάχυνσης του ταλαντωτή γράφεται:

Ταλαντωτής εκτελεί α.α.τ. πλάτους \[Α\] και ενέργειας \[Ε_Τ\]. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης:

Ταλαντωτής έχει κυκλική ιδιοσυχνότητα \[ω_0\] και εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση σταθερού πλάτους \[Α\] με την επίδραση διεγείρουσας δύναμης \[F_δ\] που έχει τη μορφή \[F_δ=F_0\, συνω_δ t\]. Οι χρονοεξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτή για μεγάλους χρόνους \[t\] γράφονται:

Στη θέση ισορροπίας μιας α.α.τ.:

Σε μια α.α.τ. η χρονοεξίσωση της επιτάχυνσης του ταλαντωτή είναι \[α=ω^2 Α ημ(ωt)\]. Η αντίστοιχη χρονοεξίσωση της ταχύτητάς του είναι:

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση γύρω απ’ τη Θ.Ι. του Ο μεταξύ των σημείων Κ και Λ με περίοδο \[Τ\]. Τη στιγμή \[t_1\] ο ταλαντωτής βρίσκεται στο σημείο Ζ της τροχιάς και έχει ταχύτητα προς τα δεξιά. Τη χρονική στιγμή \[t_1+T\] ο ταλαντωτής:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ το ίδιο σημείο ίδιων διευθύνσεων και με ίσες γωνιακές συχνότητες. Το πλάτος της σύνθετης κίνησης του σώματος εξαρτάται:

Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. με μέγιστη ταχύτητα \[υ_{max}\]. Τις στιγμές που η ταχύτητα του σημείου είναι \[υ=±\frac{ υ_{max} }{2}\], το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας της α.α.τ. προς την κινητική είναι \[\frac{U_T}{K}\] ίσο με:

Σώμα εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση που το πλάτος της δίνεται απ’ τη σχέση \[Α=Α_0 e^{-Λt}\] όπου \[Λ\] θετική σταθερά. Ο χρόνος \[t_{\frac 12}\] που απαιτείται ώστε το πλάτος της να γίνει ίσο με \[\frac{Α_0}{2}\] είναι:

Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι. και πάνω στην ίδια ευθεία. Η πρώτη επιμέρους α.α.τ. έχει εξίσωση \[x_1=A\, ημωt\] ενώ η σύνθετη α.α.τ. που προκύπτει έχει εξίσωση \[x=A\, ημ\left( ωt+\frac{π}{2} \right)\]. Η εξίσωση της δεύτερης επιμέρους α.α.τ. είναι:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους \[Α\] που πραγματοποιούνται γύρω απ’ το ίδιο σημείο. Οι συχνότητες των δύο επιμέρους ταλαντώσεων είναι \[f_1,\, f_2\], διαφέρουν λίγο μεταξύ τους και ισχύει \[f_1 > f_2\]. Ποιες απ’ τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

Το πλάτος σε μια α.α.τ. εξαρτάται:

Ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με τη βοήθεια τροχού-διεγέρτη με μικρή σταθερά απόσβεσης \[b\]. Αρχικά η συχνότητα του διεγέρτη έχει σταθερή τιμή \[f_1\] και το πλάτος της ταλάντωσης έχει σταθερή τιμή \[A_1\]. Αυξάνω αργά τη συχνότητα του διεγέρτη και όταν η συχνότητα του διεγέρτη αποκτά την τιμή \[f_2\] τότε το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται πάλι \[Α_1\]. Για την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή και τη συχνότητα \[f_1\] του διεγέρτη ισχύει:

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω απ’ την ίδια Θ.Ι., ίδιας διεύθυνσης και ίσων περιόδων. Τη χρονική στιγμή \[t_α\] το σώμα έχει απομάκρυνση αλγεβρικής τιμής \[x\] ενώ οι απομακρύνσεις του την ίδια στιγμή αν εκτελούσε μόνο την πρώτη ή μόνο τη δεύτερη ταλάντωση έχουν αλγεβρικές τιμές \[x_1\] και \[x_2\] αντίστοιχα. Οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης \[φ\]. Για τις τιμές \[x,\, x_1,\, x_2\] ισχύει: